Условие
Сумма цифр трёхзначного натурального числа A делится на 11. Сумма цифр числа A+7 также делится на 11. Найдите наибольшее возможное число A.
Подсказка
Разберите три случая: без перехода через десяток, с одним переходом и с двумя.
Разность двух сумм цифр должна делиться на 11 — какой случай подходит?
Для наибольшего числа берите цифру сотен как можно больше, но проверьте, что A+7 не выйдет за пределы.
Показать ответ
895
Пошаговое решение
- Разбираем, как меняется сумма цифр при прибавлении 7
Если цифра единиц числа A не больше 2, то меняются только единицы, и сумма цифр увеличивается на 7. Если цифра единиц не меньше 3, происходит переход через десяток: единицы уменьшаются на 3, десятки увеличиваются на 1, и сумма цифр меняется на 1−3=−2 (если цифра десятков не 9). Если же цифра десятков равна 9, она превращается в 0, а сотни увеличиваются на 1: сумма цифр меняется на −2−9=−11.
- Выбираем подходящий случай
Разность сумм цифр должна делиться на 11. Изменения 7 и −2 на 11 не делятся, а −11 делится. Значит, нужны два перехода: цифра десятков b=9, а цифра единиц c не меньше 3. Цифра сотен a не равна 9: иначе A+7 — это 1000+(c−3), его сумма цифр c−2 лежит от 1 до 7 и на 11 не делится.
- Подбираем цифры
Сумма цифр A равна a+9+c и делится на 11, поэтому a+c=2 или a+c=13. Для наибольшего числа берём наибольшую цифру сотен a=8, тогда a+c=13 даёт c=5. Получаем 895.
- Проверяем
Сумма цифр 895 равна 8+9+5=22, 895+7=902, сумма цифр 9+0+2=11 — обе делятся на 11.
Ответ: 895