Условие
Сумма цифр трёхзначного натурального числа A делится на 7. Сумма цифр числа A+2 также делится на 7. Найдите наименьшее возможное число A.
Подсказка
Как изменится сумма цифр, если при прибавлении числа не происходит перехода через десяток?
Разность двух сумм цифр тоже должна делиться на 7 — какой переход через разряд это даёт?
Для наименьшего числа начните с цифры сотен 1.
Показать ответ
149
Пошаговое решение
- Разбираем, как меняется сумма цифр при прибавлении 2
Если цифра единиц числа A не больше 7, то меняются только единицы, и сумма цифр увеличивается на 2. Если цифра единиц не меньше 8, происходит переход через десяток: единицы уменьшаются на 8, десятки увеличиваются на 1, и сумма цифр меняется на 1−8=−7 (если цифра десятков не 9). Если же цифра десятков равна 9, она превращается в 0, а сотни увеличиваются на 1: сумма цифр меняется на −7−9=−16.
- Выбираем подходящий случай
Обе суммы делятся на 7, значит, и их разность делится на 7. Изменения 2 и −16 на 7 не делятся, а −7 делится. Поэтому нужен ровно один переход через десяток: цифра единиц c равна 8 или 9, а цифра десятков b не равна 9.
- Подбираем цифры
Для наименьшего числа берём цифру сотен a=1. Сумма цифр 1+b+c делится на 7. При c=8: 9+b делится на 7, b=5, число 158. При c=9: 10+b делится на 7, b=4, число 149. Меньшее из них — 149.
- Проверяем
Сумма цифр 149 равна 1+4+9=14, 149+2=151, сумма цифр 1+5+1=7 — обе делятся на 7.
Ответ: 149