Условие
Найдите наименьшее трёхзначное число, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Подсказка
Какой остаток при делении на 3 даёт квадрат цифры, не кратной 3?
Сколько цифр, не кратных 3, должно быть в числе, чтобы сумма квадратов делилась на 3?
Не забудьте проверить, что сумма квадратов не делится на 9.
Показать ответ
578
Пошаговое решение
- Смотрим на остатки квадратов цифр при делении на 3
Если цифра делится на 3 (0, 3, 6, 9), её квадрат делится на 3. Остальные цифры (1, 2, 4, 5, 7, 8) дают квадраты 1, 4, 16, 25, 49, 64 — каждый при делении на 3 даёт остаток 1.
- Выясняем, какие цифры допустимы
Сумма квадратов даёт при делении на 3 такой же остаток, как количество цифр, не кратных 3. Чтобы она делилась на 3, таких цифр должно быть 0 или 3. Если бы все три цифры делились на 3, то и сумма цифр делилась бы на 3, а 20 на 3 не делится. Значит, все три цифры — из набора 1, 2, 4, 5, 7, 8.
- Перебираем числа по порядку
Две последние цифры дают не больше 8+8=16, поэтому первая цифра не меньше 20−16=4; наименьшая подходящая из 1, 2, 4, 5, 7, 8 — 4. Дальше идём по возрастанию, выписывая подряд все числа из этих цифр с суммой цифр 20, и проверяем их: 488: 4²+8²+8²=16+64+64=144=9·16 — делится на 9, не подходит; 578: 5²+7²+8²=25+49+64=138.
- Проверяем найденное число
138=3·46, а при делении на 9 остаток 3, то есть сумма квадратов делится на 3, но не на 9. Сумма цифр 5+7+8=20. Меньшие по порядку кандидаты уже отброшены, поэтому 578 — наименьшее такое число.
Ответ: 578