Условие
Найдите наименьшее семизначное число, которое записывается только цифрами 0 и 1 и делится на 24.
Подсказка
24=3·8: делимость на 8 проверяют по трём последним цифрам.
Какое окончание из цифр 0 и 1 делится на 8?
Сумма цифр — это количество единиц, оно должно делиться на 3.
Показать ответ
1011000
Пошаговое решение
- Разбираем делимость на 24
24=3·8, числа 3 и 8 взаимно просты. Делимость на 8 определяется тремя последними цифрами, делимость на 3 — суммой цифр.
- Находим три последние цифры
Из цифр 0 и 1 можно составить окончания 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111, то есть числа 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111. На 8 делится только 0 (например, 100=8·12+4, 110=8·13+6). Значит, число оканчивается на 000.
- Разбираем сумму цифр
Сумма цифр равна количеству единиц. Оно должно делиться на 3. Первая цифра — 1 (число семизначное), три последние — нули, а на 2-м, 3-м и 4-м местах стоят 0 или 1. Единиц всего от 1 до 4, из кратных 3 — только 3: значит, на местах со 2-го по 4-е ровно две единицы.
- Составляем наименьшее число
Варианты: 1110000, 1101000, 1011000. Чтобы число было наименьшим, на втором месте ставим 0, а единицы — как можно правее: 1011000.
- Проверяем
Сумма цифр 1+0+1+1=3, окончание 000 делится на 8, и 1011000:24=42125.
Ответ: 1011000