Условие
Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1728. Найдите наименьшее такое первое число.
Подсказка
Почему последняя цифра не может быть нулём?
Запишите число как 1000a+100b+10c+d и вычтите обратное: получится 999(a−d)+90(b−c).
Подберите a так, чтобы остаток после вычитания 999(a−5) делился на 90.
Показать ответ
7035
Пошаговое решение
- Находим последнюю цифру
Число кратно 5, значит, оканчивается на 0 или 5. Если бы оно оканчивалось на 0, то число, записанное в обратном порядке, начиналось бы с нуля и не было бы четырёхзначным. Поэтому последняя цифра d=5.
- Записываем разность через цифры
Пусть число равно abcd=1000a+100b+10c+d. Обратное число dcba=1000d+100c+10b+a. Разность: (1000a+100b+10c+d)−(1000d+100c+10b+a)=999(a−d)+90(b−c)=999(a−5)+90(b−c).
- Находим первую цифру
1728=999(a−5)+90(b−c). Разность цифр b−c лежит от −9 до 9, поэтому 90(b−c) — число, кратное 90, от −810 до 810. Разность положительна, то есть первое число больше второго, а второе начинается с цифры 5. При a≤5 слагаемое 999(a−5) не больше нуля, и вся разность была бы не больше 810, а 1728>810. Поэтому a>5, то есть a−5 — от 1 до 4. Пробуем все четыре значения: при a−5=1: 1728−999=729 — не делится на 90; при a−5=2: 1728−1998=−270; при a−5=3: 1728−2997=−1269 — не делится на 90; при a−5=4: 1728−3996=−2268 — не делится на 90. Подходит только a−5=2: a=7, и 90(b−c)=−270, откуда c−b=3.
- Выбираем средние цифры
Чем больше первая цифра, тем больше число, но первая цифра определилась однозначно: при других значениях a равенство невозможно. Первая цифра 7 и последняя 5 у всех подходящих чисел одинаковы, поэтому числа различаются только средними цифрами. Условию c−b=3 удовлетворяют такие пары средних цифр bc: 03, 14, 25, 36, 47, 58, 69. Нам нужно наименьшее число, поэтому берём b=0, c=3. Получаем 7035.
- Проверяем
7035−5307=1728; число 7035 оканчивается на 5 и кратно 5, а 5307 четырёхзначное.
Ответ: 7035