Условие
Найдите наименьшее шестизначное число, которое записывается только цифрами 0 и 5 и делится на 75.
Подсказка
75=3·25. Какими двумя цифрами может оканчиваться число, кратное 25?
Сумма цифр равна пятёрке, умноженной на количество пятёрок.
Чтобы число было наименьшим, пятёрки после первой ставьте как можно правее.
Показать ответ
500550
Пошаговое решение
- Разбираем делимость на 75
75=3·25, числа 3 и 25 взаимно просты. Число делится на 25, если две последние цифры образуют 00, 25, 50 или 75, а на 3 — если сумма цифр делится на 3.
- Находим окончание
Из цифр 0 и 5 получаются окончания 00, 05, 50, 55. Подходят только 00 и 50.
- Разбираем сумму цифр
Сумма цифр равна 5·k, где k — количество пятёрок. 5·k делится на 3 только тогда, когда k делится на 3. Первая цифра — 5 (число шестизначное), поэтому пятёрок 3 или 6. Шесть пятёрок невозможно: в окончании есть ноль. Значит, пятёрок ровно три.
- Составляем наименьшее число
Первая цифра 5, а ещё две пятёрки ставим как можно правее. С окончанием 50 одна пятёрка уже на 5-м месте, вторую ставим на 4-е: 500550. С окончанием 00 пятёрки могут занять только места со 2-го по 4-е, в лучшем случае получаем 505500, а это больше. Ответ — 500550.
- Проверяем
5+5+5=15 делится на 3, окончание 50 делится на 25, и 500550:75=6674.
Ответ: 500550