Условие
Найдите наибольшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр.
Подсказка
Если остатки при делении на 4 и на 15 равны, то на что делится разность числа и остатка?
Цифры числа, у которого средняя цифра — среднее крайних, идут с одинаковым шагом.
Выпишите такие числа по порядку и проверьте остаток при делении на произведение делителей.
Показать ответ
963
Пошаговое решение
- Превращаем «равные остатки» в одно условие
Пусть при делении на 4 и на 15 остаток один и тот же — r. Тогда число n−r делится и на 4, и на 15, а так как 4 и 15 взаимно просты, то и на 4·15=60. Остаток меньше каждого делителя и не равен нулю, поэтому r — от 1 до 3. Итак, n при делении на 60 даёт остаток от 1 до 3.
- Описываем числа со «средней» цифрой
Если средняя цифра b — среднее арифметическое крайних a и c, то a+c=2b: цифры идут с равным шагом, например 1, 3, 5 или 8, 6, 4. Для каждой первой цифры a и средней b последняя равна c=2b−a и должна быть от 0 до 9.
- Перебираем такие числа
Выписываем числа с этим свойством по убыванию, начиная с наибольшего, и делим каждое на 60 с остатком: 999=60·16+39; 987=60·16+27; 975=60·16+15; 963=60·16+3. Первые остатки не подходят (нуль или слишком большой), а остаток 3 подходит.
- Проверяем ответ
963=4·240+3 и 963=15·64+3: остатки равны 3 и не равны нулю. Цифры: 9+3=12=2·6. Так как перебор шёл по убыванию, это наибольшее подходящее число.
Ответ: 963