ЕГЭ БАЗА, задание 19: Целые числа и делимость

Почему последняя цифра не может быть нулём?

Запишите число как 1000a+100b+10c+d и вычтите обратное: получится 999(a−d)+90(b−c).

Подберите a так, чтобы остаток после вычитания 999(a−5) делился на 90.

1. Находим последнюю цифру

   Число кратно 5, значит, оканчивается на 0 или 5. Если бы оно оканчивалось на 0, то число, записанное в обратном порядке, начиналось бы с нуля и не было бы четырёхзначным. Поэтому последняя цифра d=5.

2. Записываем разность через цифры

   Пусть число равно abcd=1000a+100b+10c+d. Обратное число dcba=1000d+100c+10b+a. Разность: (1000a+100b+10c+d)−(1000d+100c+10b+a)=999(a−d)+90(b−c)=999(a−5)+90(b−c).

3. Находим первую цифру

   3177=999(a−5)+90(b−c). Разность цифр b−c лежит от −9 до 9, поэтому 90(b−c) — число, кратное 90, от −810 до 810. Разность положительна, то есть первое число больше второго, а второе начинается с цифры 5. При a≤5 слагаемое 999(a−5) не больше нуля, и вся разность была бы не больше 810, а 3177>810. Поэтому a>5, то есть a−5 — от 1 до 4. Пробуем все четыре значения: при a−5=1: 3177−999=2178 — не делится на 90; при a−5=2: 3177−1998=1179 — не делится на 90; при a−5=3: 3177−2997=180; при a−5=4: 3177−3996=−819 — не делится на 90. Подходит только a−5=3: a=8, и 90(b−c)=180, откуда b−c=2.

4. Выбираем средние цифры

   Чем больше первая цифра, тем больше число, но первая цифра определилась однозначно: при других значениях a равенство невозможно (в том числе a=9, хотя число с ней было бы больше: 3177−3996=−819 не делится на 90). Первая цифра 8 и последняя 5 у всех подходящих чисел одинаковы, поэтому числа различаются только средними цифрами. Условию b−c=2 удовлетворяют такие пары средних цифр bc: 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97. Нам нужно наибольшее число, поэтому берём b=9, c=7. Получаем 8975.

5. Проверяем

   8975−5798=3177; число 8975 оканчивается на 5 и кратно 5, а 5798 четырёхзначное.

Ответ: 8975