Условие
Найдите наибольшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 5 и на 7 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр.
Подсказка
Если остатки при делении на 5 и на 7 равны, то на что делится разность числа и остатка?
Цифры числа, у которого средняя цифра — среднее крайних, идут с одинаковым шагом.
Выпишите такие числа по порядку и проверьте остаток при делении на произведение делителей.
Показать ответ
876
Пошаговое решение
- Превращаем «равные остатки» в одно условие
Пусть при делении на 5 и на 7 остаток один и тот же — r. Тогда число n−r делится и на 5, и на 7, а так как 5 и 7 взаимно просты, то и на 5·7=35. Остаток меньше каждого делителя и не равен нулю, поэтому r — от 1 до 4. Итак, n при делении на 35 даёт остаток от 1 до 4.
- Описываем числа со «средней» цифрой
Если средняя цифра b — среднее арифметическое крайних a и c, то a+c=2b: цифры идут с равным шагом, например 1, 3, 5 или 8, 6, 4. Для каждой первой цифры a и средней b последняя равна c=2b−a и должна быть от 0 до 9.
- Перебираем такие числа
Выписываем числа с этим свойством по убыванию, начиная с наибольшего, и делим каждое на 35 с остатком: 999=35·28+19; 987=35·28+7; 975=35·27+30; 963=35·27+18; 951=35·27+6; 888=35·25+13; 876=35·25+1. Первые остатки не подходят (нуль или слишком большой), а остаток 1 подходит.
- Проверяем ответ
876=5·175+1 и 876=7·125+1: остатки равны 1 и не равны нулю. Цифры: 8+6=14=2·7. Так как перебор шёл по убыванию, это наибольшее подходящее число.
Ответ: 876