ЕГЭ БАЗА, задание 19: Целые числа и делимость

18=2·9: последняя цифра чётная, а сумма цифр делится на 9.

Выпишите все наборы из четырёх цифр с произведением 108 и проверьте их суммы.

Из подходящего набора составьте наибольшее число с чётной последней цифрой.

1. Разбираем делимость на 18

   18=2·9, числа 2 и 9 взаимно просты: последняя цифра должна быть чётной, а сумма цифр — делиться на 9. Нулей среди цифр нет, иначе произведение было бы 0.

2. Перебираем наборы цифр с произведением 108

   108=2²·3³. Двух единиц быть не может: тогда две другие цифры дали бы 108, а 9·9=81<108. Наборы из четырёх цифр: 1, 2, 6, 9 (сумма 18); 1, 3, 4, 9 (сумма 17); 1, 3, 6, 6 (сумма 16); 2, 2, 3, 9 (сумма 16); 2, 3, 3, 6 (сумма 14); 3, 3, 3, 4 (сумма 13).

3. Проверяем сумму цифр

   На 9 делится только сумма 18, поэтому цифры числа — 1, 2, 6 и 9.

4. Составляем наибольшее число

   Если просто расставить цифры по убыванию, получится 9621, но оно нечётное. Последней должна стоять чётная цифра — 2 или 6. С двойкой в конце остальные цифры по убыванию дают 9612, с шестёркой — 9216. Большее из них — 9612.

5. Проверяем

   9·6·1·2=108, 9+6+1+2=18 делится на 9, число чётное, и 9612:18=534.

Ответ: 9612