Условие
Вычеркните в числе 9437152 три цифры так, чтобы получившееся четырёхзначное число делилось на 12. В ответе укажите наибольшее такое число.
Подсказка
12=3·4: нужна сумма цифр, кратная 3, и окончание из двух цифр, кратное 4.
Найдите остаток суммы всех цифр при делении на 3 — такой же остаток должна давать сумма вычеркнутых.
Подбирайте цифры слева направо: каждая следующая — наибольшая из возможных.
Показать ответ
9432
Пошаговое решение
- Раскладываем 12 на взаимно простые множители
12=3·4, числа 3 и 4 взаимно просты. Нужно, чтобы сумма цифр делилась на 3, а число из двух последних цифр делилось на 4. Из семи цифр останутся четыре.
- Условие на сумму вычеркнутых цифр
Сумма всех цифр: 9+4+3+7+1+5+2=31. Если сумма вычеркнутых цифр равна s, то у оставшихся она 31−s. Чтобы 31−s делилось на 3, число s должно давать при делении на 3 остаток 1 (как и 31=3·10+1): s=7, 10, 13, 16, …
- Подбираем первые цифры как можно большими
Первую цифру 9 оставляем — больше не бывает. Второй цифрой могла бы стать 7: тогда вычёркиваем 4 и 3 (сумма 7) и ещё одну цифру из 1, 5, 2, но суммы 8, 12, 9 не дают остатка 1. Сделать второй цифрой 5 тоже нельзя: пришлось бы вычеркнуть 4, 3, 7 (сумма 14, остаток 2). Значит, начало 94. Чтобы третьей цифрой стала 7, вычёркиваем 3 и ещё две цифры из 1, 5, 2; остаток 1 даёт только 3+5+2=10, и получается 9471, но 71 не делится на 4. Третья цифра 5 требует вычеркнуть 3, 7, 1 (сумма 11, остаток 2) — нет.
- Выбираем последнюю цифру
Остаётся начало 943, а последняя цифра выбирается из 7, 1, 5, 2 (остальные три вычёркиваются). Окончание 3x должно делиться на 4: 37, 31, 35 не делятся, 32=4·8 делится. Вычёркиваем 7, 1, 5 — их сумма 13=3·4+1, как и требовалось.
- Проверяем
9432: сумма цифр 9+4+3+2=18 делится на 3, окончание 32 делится на 4, и 9432:12=786.
Ответ: 9432