Условие
Вычеркните в числе 62935170 три цифры так, чтобы получившееся пятизначное число делилось на 45. В ответе укажите наибольшее такое число.
Подсказка
45=5·9: проверьте последнюю цифру и сумму цифр.
Может ли число оканчиваться пятёркой? Сколько цифр тогда придётся вычеркнуть?
Найдите, какой должна быть сумма трёх вычеркнутых цифр, а затем сделайте первую цифру как можно больше.
Показать ответ
93510
Пошаговое решение
- Раскладываем 45 на взаимно простые множители
45=5·9, а числа 5 и 9 взаимно просты. Поэтому число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится и на 5 (последняя цифра 0 или 5), и на 9 (сумма цифр делится на 9). После вычёркивания трёх цифр из восьми останется пятизначное число.
- Выбираем последнюю цифру
Если число должно оканчиваться на 5, придётся вычеркнуть все цифры после пятёрки: 1, 7 и 0 — это как раз три цифры. Останется 62935, но 6+2+9+3+5=25 на 9 не делится. Значит, последней остаётся цифра 0, а вычёркиваем три цифры из первых семи: 6, 2, 9, 3, 5, 1, 7.
- Находим, какой может быть сумма вычеркнутых цифр
Сумма всех цифр числа: 6+2+9+3+5+1+7+0=33. Три вычеркнутые цифры дают сумму от 1+2+3=6 до 9+7+6=22, поэтому у оставшихся цифр сумма от 33−22=11 до 33−6=27. Из кратных 9 сюда попадают 18 и 27, значит, сумма вычеркнутых цифр равна 33−18=15 или 33−27=6.
- Делаем число наибольшим
Все подходящие числа пятизначные, поэтому сравниваем их с первой цифры. Самая большая возможная первая цифра — 9: для этого вычёркиваем стоящие перед ней 6 и 2 (сумма 8). Третья вычеркнутая цифра x должна дать 8+x=15, то есть x=7 (сумма 6 уже невозможна). Семёрка стоит после девятки — вычёркиваем её. Получаем 93510. При первой цифре 9 других вариантов нет, а первая цифра больше 9 не бывает.
- Проверяем
93510 оканчивается нулём, сумма цифр 9+3+5+1+0=18 делится на 9, и 93510:45=2078.
Ответ: 93510