Условие
Натуральное число сложили с суммой его цифр и получили 3031. Найдите это число.
Подсказка
Какой может быть наибольшая сумма цифр числа, меньшего данного? Оцените число снизу.
Первые две цифры известны — запишите число через цифры десятков x и единиц y и составьте уравнение.
Помните, что x и y — цифры от 0 до 9.
Показать ответ
3023
Пошаговое решение
- Оцениваем число сверху и снизу
Число n меньше 3031, значит, в нём не больше четырёх цифр, и сумма цифр не больше 9·4=36. Тогда n=3031−(сумма цифр)≥3031−36=2995. Итак, n лежит от 2995 до 3030, и его запись начинается с 29 или 30.
- Записываем условие через цифры
Обозначим цифру десятков x, цифру единиц y. Если n=29xy, то n+(сумма цифр)=2900+10x+y+2+9+x+y=2911+11x+2y=3031, откуда 11x+2y=120; если n=30xy, то n+(сумма цифр)=3000+10x+y+3+0+x+y=3003+11x+2y=3031, откуда 11x+2y=28.
- Подбираем цифры
«29xy»: 2y не больше 18, поэтому 11x должно быть от 102 до 120, а таких цифр x нет; «30xy»: 2y от 0 до 18, поэтому 11x от 10 до 28, x=1 или 2; x=1 даёт 2y=17 — нечётно, x=2 даёт 2y=6, y=3. Подходит только n=3023.
- Проверяем
3023+(3+0+2+3)=3023+8=3031.
Ответ: 3023