Условие
Натуральное число сложили с суммой его цифр и получили 1107. Найдите это число.
Подсказка
Какой может быть наибольшая сумма цифр числа, меньшего данного? Оцените число снизу.
Первые две цифры известны — запишите число через цифры десятков x и единиц y и составьте уравнение.
Помните, что x и y — цифры от 0 до 9.
Показать ответ
1089
Пошаговое решение
- Оцениваем число сверху и снизу
Число n меньше 1107, значит, в нём не больше четырёх цифр, и сумма цифр не больше 9·4=36. Тогда n=1107−(сумма цифр)≥1107−36=1071. Итак, n лежит от 1071 до 1106, и его запись начинается с 10 или 11.
- Записываем условие через цифры
Обозначим цифру десятков x, цифру единиц y. Если n=10xy, то n+(сумма цифр)=1000+10x+y+1+0+x+y=1001+11x+2y=1107, откуда 11x+2y=106; если n=11xy, то n+(сумма цифр)=1100+10x+y+1+1+x+y=1102+11x+2y=1107, откуда 11x+2y=5.
- Подбираем цифры
«10xy»: 2y от 0 до 18, поэтому 11x от 88 до 106, x=8 или 9; x=8 даёт 2y=18, y=9, x=9 даёт 2y=7 — нечётно; «11xy»: 2y от 0 до 18, поэтому 11x от 0 до 5, x=0; x=0 даёт 2y=5 — нечётно. Подходит только n=1089.
- Проверяем
1089+(1+0+8+9)=1089+18=1107.
Ответ: 1089