Условие
Кузнечик сидит в начале координат на числовой прямой. За один прыжок он перемещается ровно на 1 единицу влево или вправо. Кузнечик сделал ровно 15 прыжков. Сколько существует различных точек с положительной координатой, в которых он мог оказаться?
Подсказка
Порядок прыжков не влияет на конечную точку — важно только, сколько прыжков сделано вправо.
Выразите конечную координату через число прыжков вправо и переберите все его значения.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Замечаем, от чего зависит конечная точка
Порядок прыжков не важен: при сложении сдвигов от перестановки слагаемых сумма не меняется. Важно только, сколько прыжков сделано вправо. Обозначим это число k; тогда влево сделано 15−k прыжков, а k может быть любым целым числом от 0 до 15.
- Записываем координату через k
Конечная координата x=k−(15−k)=2k−15. При k=0 получаем −15, при k=15 получаем 15.
- Выписываем все возможные точки
Подставляя k=0, 1, 2, …, 15, получаем точки −15, −13, −11, …, 13, 15. Все эти числа нечётные: каждый прыжок меняет чётность координаты, а прыжков 15.
- Оставляем точки с положительной координатой
Нужно 2k−15>0, то есть 2k>15 и k≥8. Значит, подходят k=8, …, 15 — это 15−8+1=8 значений: точки 1, 3, 5, …, 15. Точка 0 не подходит: её координата не положительна, да и попасть в неё за нечётное число прыжков нельзя.
Ответ: 8