Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−7; 7). На оси абсцисс отмечены точки −3, 0, 2 и 5. В какой из этих точек значение производной функции f(x) наименьшее? В ответе укажите абсциссу этой точки.
Подсказка
Сначала разделите точки на те, где график идёт вверх, вниз и где касательная горизонтальна.
Среди точек с одинаковым знаком производной сравните крутизну графика.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Вспоминаем смысл производной
Значение производной в точке — это угловой коэффициент касательной, то есть «крутизна» графика со знаком. Где график идёт вверх, f′>0, и чем круче подъём, тем больше f′. Где график идёт вниз, f′<0, и чем круче спуск, тем меньше f′. В вершине или впадине f′=0.
- Оцениваем наклон в каждой точке
Мысленно прикладываем к графику касательную и примерно оцениваем её наклон по клеткам: x=−3 — график полого идёт вниз, f′(−3)≈−0,5; x=0 — график круто идёт вверх, f′(0)≈1; x=2 — график круто идёт вниз, f′(2)≈−2; x=5 — вершина графика, касательная горизонтальна, f′(5)=0.
- Выбираем нужную точку
Наименьшее из чисел −0,5; 1; −2; 0 равно −2, оно получается в точке x=2 (точные значения не нужны: достаточно сравнить знаки и крутизну). Отрицательные числа меньше нуля и положительных, поэтому ответ ищем среди точек спуска: самый крутой спуск даёт самое маленькое значение.
Ответ: 2