Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−6; 7). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁=−5, x₂=−3,5, x₃=−2,5, x₄=−1,5, x₅=1,5, x₆=3,5, x₇=4,5, x₈=6. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Подсказка
Знак производной определяется тем, возрастает или убывает функция в точке.
Не путайте знак производной со знаком значения функции.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Вспоминаем связь знака производной с графиком
Функция возрастает там, где её график идёт вверх при движении слева направо; на таких участках производная положительна. Где график идёт вниз, функция убывает и f′(x)<0.
- Смотрим, куда идёт график в каждой отмеченной точке
Идём от каждой точки по пунктиру до графика и смотрим, куда он направлен: x₁=−5 — вниз; x₂=−3,5 — вверх; x₃=−2,5 — вверх; x₄=−1,5 — вверх; x₅=1,5 — вниз; x₆=3,5 — вверх; x₇=4,5 — вверх; x₈=6 — вниз.
- Считаем подходящие точки
Производная положительна там, где график идёт вверх: это точки x₂, x₃, x₄, x₆, x₇ — всего 5. Лежит ли точка графика выше или ниже оси Ox, значения не имеет: важен наклон графика, а не знак самой функции.
Ответ: 5