Условие
На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−7; 7). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁=−6,5, x₂=−5, x₃=−3,5, x₄=−1,5, x₅=0, x₆=2, x₇=3, x₈=5. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?
Подсказка
Знак производной определяется тем, возрастает или убывает функция в точке.
Не путайте знак производной со знаком значения функции.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Вспоминаем связь знака производной с графиком
Функция возрастает там, где её график идёт вверх при движении слева направо; на таких участках производная положительна. Где график идёт вниз, функция убывает и f′(x)<0.
- Смотрим, куда идёт график в каждой отмеченной точке
Идём от каждой точки по пунктиру до графика и смотрим, куда он направлен: x₁=−6,5 — вниз; x₂=−5 — вниз; x₃=−3,5 — вверх; x₄=−1,5 — вниз; x₅=0 — вниз; x₆=2 — вверх; x₇=3 — вверх; x₈=5 — вниз.
- Считаем подходящие точки
Производная положительна там, где график идёт вверх: это точки x₃, x₆, x₇ — всего 3. Лежит ли точка графика выше или ниже оси Ox, значения не имеет: важен наклон графика, а не знак самой функции.
Ответ: 3