Условие
Дан график производной y=f′(x) функции f(x) на интервале (−7; 7) (см. рисунок). На отрезке [−1; 5] найдите точку, в которой функция f(x) растёт быстрее всего, то есть касательная к её графику имеет наибольший угловой коэффициент. В ответе укажите абсциссу этой точки.
Подсказка
Угловой коэффициент касательной — это значение производной в точке касания.
Ищите самую высокую точку графика f′ на данном отрезке, не забывая про его концы.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Переводим вопрос на язык графика производной
Угловой коэффициент касательной к графику f в точке x равен f′(x). Значит, нужно найти, где на отрезке [−1; 5] производная принимает наибольшее значение, то есть где на этом отрезке находится самая высокая точка графика f′.
- Выписываем кандидатов
Наибольшее значение на отрезке достигается в вершине графика внутри отрезка или на его конце. Концы: f′(−1)=−1, f′(5)=−2. Вершины внутри отрезка: f′(2)=2.
- Выбираем самую высокую точку
Наибольшее из чисел −1, −2, 2 равно 2, оно достигается при x=2. Не путайте с точкой максимума самой функции f: она там, где график f′ пересекает ось сверху вниз, и в ней угловой коэффициент касательной равен нулю, а не наибольший.
Ответ: 2