ЕГЭ БАЗА, задание 8: Логические рассуждения

Обозначьте через x число людей, входящих в обе группы, и выразите через x остальные части.

Найдите, в каких пределах может меняться x, и проверяйте каждое утверждение на крайних значениях.

Утверждение верно, только если оно выполнено при любом допустимом x.

1. Вводим неизвестное — число «попавших в оба списка»

   Пусть x учеников занимаются и музыкой, и спортом. Тогда только музыкой занимаются 18−x, только спортом 20−x, а ни тем ни другим 30−(18−x)−(20−x)−x=x−8 учеников. Все четыре количества неотрицательны, поэтому x≥8 и x≤18. Любое x от 8 до 18 возможно, и «верным» считаем только то, что выполнено при всех таких x.

2. Проверяем утверждение 1

   «Хотя бы 8 учеников этого класса занимаются и музыкой, и спортом» — верно. Это неравенство x≥8 из шага 1. Его смысл без буквы: 18+20=38>30, значит, не меньше 38−30=8 учеников посчитаны в обоих списках.

3. Проверяем утверждение 2

   «Найдётся ученик, который не занимается ни музыкой, ни спортом» — неверно. Ни тем ни другим занимаются x−8 учеников, а при x=8 это 0. Пример: оба занятия у 8 учеников, только музыка у 10, только спорт у 12; 8+10+12=30 — свободных от занятий нет, а условие выполнено.

4. Проверяем утверждение 3

   «Оба занятия совмещают не более 18 учеников» — верно. Каждый, кто совмещает, входит в число 18 учеников музыкальной школы, поэтому x≤18.

5. Проверяем утверждение 4

   «Хотя бы 10 учеников занимаются и музыкой, и спортом» — неверно. Пример из утверждения 2 (совмещают ровно 8 человек) удовлетворяет условию, а 8<10.

6. Записываем ответ

   Верны утверждения 1 и 3. Записываем их номера подряд в порядке возрастания: 13.

Ответ: 13