Условие
На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки M и N так, что AM:MB=2:1, AN:NC=3:2. Площадь треугольника ABC равна 45. Найдите площадь четырёхугольника MBCN.
Подсказка
Треугольники AMN и ABC имеют общий угол — запишите их площади через синус этого угла.
Отношение площадей равно произведению отношений сторон, заключающих общий угол.
Показать ответ
27
Пошаговое решение
- Замечаем общий угол
Треугольники AMN и ABC имеют общий угол A. Их площади удобно записать по формуле S=½·(сторона)·(сторона)·sin(угла между ними).
- Записываем отношение площадей
S(AMN)/S(ABC)=(½·AM·AN·sin A)/(½·AB·AC·sin A)=(AM/AB)·(AN/AC): синусы и множители ½ сокращаются.
- Находим доли сторон
AB=2+1=3 части, AM/AB=2/3; AC=3+2=5 частей, AN/AC=3/5. Ошибка — взять AM/MB=2: нужна доля от всей стороны.
- Считаем площадь треугольника AMN
S(AMN)=45·(2/3)·(3/5)=45·(2/5)=18.
- Находим площадь четырёхугольника
MBCN — это треугольник ABC без треугольника AMN: 45−18=27.
Ответ: 27