Условие
Медианы AD и BE треугольника ABC равны 6 и 9. Они пересекаются в G, угол AGB равен 30°. Найдите площадь ABC.
Подсказка
Центр тяжести делит медианы в отношении 2:1 от вершины: AG=4, BG=6.
S_AGB=AG·BG·sin30°/2=4·6/4=6.
Показать ответ
18
Пошаговое решение
- Находим части медиан
Центр тяжести делит медианы в отношении 2:1 от вершины: AG=4, BG=6.
- Находим площадь AGB
S_AGB=AG·BG·sin30°/2=4·6/4=6.
- Связываем площади
G лежит на AD и AG:AD=2:3, поэтому расстояние G до прямой AB равно 2/3 расстояния D до AB. Поскольку D — середина BC, его расстояние до AB равно половине высоты из C. Значит высота из G составляет (2/3)·(1/2)=1/3 высоты из C. При общем основании AB получаем S_AGB=S_ABC/3.
- Получаем площадь треугольника
S_ABC=3·S_AGB=3·6=18.
Ответ: 18