Условие
В треугольнике ABC угол A равен 38°, угол B равен 74°. Касательная к окружности, описанной около треугольника ABC, проведённая через точку C, пересекает продолжение стороны AB за точку B в точке D. Найдите угол ADC. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на дугу внутри этого угла.
Рассмотрите треугольник BCD и смежный угол при вершине B.
Показать ответ
36
Пошаговое решение
- Находим угол между касательной и хордой
Угол между касательной CD и хордой CB равен вписанному углу, опирающемуся на дугу CB (заключённую внутри этого угла). На дугу CB опирается угол A, поэтому угол BCD=угол A=38°.
- Находим угол CBD
Точки A, B, D лежат на одной прямой, поэтому углы ABC и CBD смежные: угол CBD=180°−74°=106°.
- Применяем сумму углов треугольника BCD
Угол ADC — это угол BDC треугольника BCD. Угол BDC=180°−106°−38°=36°.
- Проверяем через дуги
Дуга CB (без точки A) равна 2·38°=76°, дуга CA (без точки B) равна 2·74°=148°. Угол между касательной и секущей, проведёнными из точки D вне окружности, равен полуразности дуг между ними: (148°−76°):2=36° — совпало.
Ответ: 36