Условие
Точки A, B и C лежат на окружности и делят её на три дуги: AB, BC и CA (каждая дуга не содержит третьей точки). Градусные меры этих дуг относятся как 3:5:7. Найдите наибольший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Сначала найдите градусную меру одной части: вся окружность — это 360°.
Каждый угол треугольника — вписанный; он равен половине дуги, лежащей напротив вершины.
Показать ответ
84
Пошаговое решение
- Находим градусные меры дуг
Три дуги вместе составляют всю окружность, то есть 360°. Обозначим одну часть через x: 3x+5x+7x=360°, 15x=360°, x=360°:15=24°. Дуга AB=3·24°=72°, дуга BC=5·24°=120°, дуга CA=7·24°=168°.
- Сопоставляем углы и дуги
Каждый угол треугольника ABC — вписанный. Он опирается на дугу, лежащую напротив вершины: угол C — на дугу AB, угол A — на дугу BC, угол B — на дугу CA.
- Применяем теорему о вписанном угле
Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: угол C=72°:2=36°, угол A=120°:2=60°, угол B=168°:2=84°.
- Проверяем и выбираем наибольший угол
Сумма углов: 60°+84°+36°=180° — верно. Наибольший угол лежит против наибольшей дуги: угол B=84°. Ошибка — взять саму дугу 168° вместо её половины: вписанный угол вдвое меньше дуги.
Ответ: 84