Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 34°, угол CAD равен 41°. Найдите угол ADC. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
Найдите угол, который опирается на ту же дугу CD, что и угол CAD.
Какое свойство связывает противоположные углы вписанного четырёхугольника?
Показать ответ
105
Пошаговое решение
- Замечаем углы, опирающиеся на одну дугу
Вписанные углы CAD и CBD опираются на одну и ту же дугу CD (вершины A и B лежат по одну сторону от хорды CD). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому угол DBC=угол CAD=41°.
- Находим угол ABC
Диагональ BD проходит внутри угла ABC и делит его на два угла: угол ABC=угол ABD+угол DBC=34°+41°=75°.
- Применяем свойство вписанного четырёхугольника
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°. Угол ADC противоположен углу ABC, поэтому угол ADC=180°−75°=105°.
- Проверяем через дуги
Угол ABD=34° опирается на дугу AD, значит, она равна 68°; угол CAD=41° опирается на дугу CD, она равна 82°. Угол ADC опирается на дугу ABC, которая дополняет дуги AD и CD до 360°: 360°−68°−82°=210°, и угол ADC=210°:2=105° — совпало.
Ответ: 105