ЕГЭ, задание 12: Экстремумы функции

Сначала учтите ОДЗ: x+2>0, затем найдите производную сложного логарифма.

Приведите y′=5/(x+2)−1 к одной дроби и исследуйте её знак.

1. Правила логарифмов

   Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.

2. Намечаем ход решения

   Сначала учтите ОДЗ: x+2>0, затем найдите производную сложного логарифма. Приведите y′=5/(x+2)−1 к одной дроби и исследуйте её знак.

3. Учитываем ограничения

   ОДЗ: x+2>0.

4. Исследуем производную

   Производная y′=5/(x+2)−1=(5−(x+2))/(x+2).

5. Учитываем ограничения

   На ОДЗ знаменатель положителен.

6. Выполняем преобразование

   Числитель обращается в ноль, когда x+2=5, то есть при x=3; до этой точки он положителен, после — отрицателен.

7. Выполняем преобразование

   Функция сначала возрастает, затем убывает, поэтому x=3 — точка максимума.

Ответ: 3