Условие
Найдите точку минимума функции y=x²−30ln(x+2).
Подсказка
Учтите ОДЗ x>−2 и найдите y′=2x−30/(x+2).
Разложите числитель производной: 2x(x+2)−30=2(x−3)(x+5).
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Правила логарифмов
Для log_a(b) нужны a>0, a≠1 и b>0. Равенство log_a(b)=c означает b=a^c. Сумму логарифмов одного основания можно заменить логарифмом произведения только при положительности обоих аргументов. В неравенстве основание a>1 сохраняет знак, а 0<a<1 меняет его.
- Намечаем ход решения
Учтите ОДЗ x>−2 и найдите y′=2x−30/(x+2). Разложите числитель производной: 2x(x+2)−30=2(x−3)(x+5).
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x>−2.
- Выполняем преобразование
На этой области
- Выполняем преобразование
y′=2x−30/(x+2)=2(x−3)(x+5)/(x+2).
- Выполняем преобразование
При x>−2 множители x+5 и x+2 положительны, поэтому знак y′ определяется множителем x−3.
- Выполняем преобразование
До x=3 функция убывает, а после возрастает.
- Получаем следующий результат
Следовательно, x=3 — точка минимума.
Ответ: 3