Условие
Найдите точку локального максимума функции y=(x²−8)·e^(−x).
Подсказка
Примените правило произведения и вынесите общий положительный множитель e^(−x).
После упрощения знак y′ определяется выражением −(x+2)(x−4); составьте таблицу знаков.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Примените правило произведения и вынесите общий положительный множитель e^(−x). После упрощения знак y′ определяется выражением −(x+2)(x−4); составьте таблицу знаков.
- Вводим обозначения
Пусть P(x)=x²−8.
- Выполняем преобразование
Тогда y′=e^(−x)(P′−P).
- Выполняем преобразование
Прямое упрощение даёт P′−P=−(x+2)(x−4).
- Выполняем преобразование
Множитель e^(−x)>0.
- Исследуем производную
Производная отрицательна при x<-2, положительна между -2 и 4, снова отрицательна при x>4.
- Выполняем преобразование
При x=-2 находится минимум, а при x=4 знак меняется с «+» на «−», значит это точка локального максимума.
Ответ: 4