Условие
Найдите точку максимума функции y=√(x)/(x+4).
Подсказка
На ОДЗ x≥0 знаменатель положителен, поскольку x+4≥4>0.
После дифференцирования знак y′ определяется выражением 4−(x).
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
На ОДЗ x≥0 знаменатель положителен, поскольку x+4≥4>0. После дифференцирования знак y′ определяется выражением 4−(x).
- Учитываем ограничения
ОДЗ: x≥0; знаменатель положителен.
- Вводим обозначения
Обозначим u=x≥0, тогда x+4=u+4.
- Исследуем производную
Для u>0 производная по u имеет знак выражения (4−u)/(2√u(u+4)²).
- Выполняем преобразование
Она положительна при u<4 и отрицательна при u>4.
- Выполняем преобразование
Поэтому максимум достигается при u=4, то есть x=0+4=4.
- Выполняем преобразование
Граничное значение при u=0 равно 0.
Ответ: 4