Условие
На отрезке [−2; 0] найдите наибольшее значение, которое принимает функция y = 3^(x³ − 3x).
Подсказка
Показательная функция с основанием больше 1 возрастает — ищите наибольший показатель.
Показатель — кубический многочлен; найдите его критические точки на отрезке и сравните с концами.
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Сводим задачу к показателю
y = 3^t, где t = x³ − 3x. Основание 3 > 1, функция 3^t возрастает, поэтому y наибольшее там, где наибольший показатель t на отрезке.
- Исследуем показатель с помощью производной
t′ = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1). На отрезке [−2; 0] лежит только x = −1. При −2 < x < −1 t′ > 0, при −1 < x < 0 t′ < 0, значит x = −1 — точка максимума показателя.
- Сравниваем с концами отрезка
t(−1) = (−1)³ − 3·(−1) = −1 + 3 = 2; t(−2) = −8 + 6 = −2; t(0) = 0. Наибольший показатель равен 2.
- Вычисляем значение функции
y(−1) = 3^2 = 9. Типичная ошибка — сравнить только концы отрезка: 3^(−2) = 1/9 и 3^0 = 1, и ответить 1, пропустив точку максимума внутри отрезка.
Ответ: 9