Условие
Найдите наименьшее значение функции y = tg x + 9ctg x + 2 на промежутке (0; π/2).
Подсказка
Приведите производную к общему знаменателю и получите уравнение на tg x.
Саму точку x искать не нужно: для значения функции достаточно знать tg x и ctg x.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Находим производную
(tg x)′ = 1/cos²x, (ctg x)′ = −1/sin²x. Получаем y′ = 1/cos²x − 9/sin²x = (sin²x − 9cos²x)/(sin²x·cos²x).
- Решаем y′ = 0
Знаменатель на (0; π/2) положителен, поэтому sin²x = 9cos²x, то есть tg²x = 9. На (0; π/2) тангенс положителен, значит tg x = 3. Такой угол не табличный, но он существует: тангенс на (0; π/2) принимает все положительные значения.
- Определяем тип точки
Если tg x < 3, то sin²x < 9cos²x и y′ < 0 — функция убывает; если tg x > 3, то y′ > 0 — возрастает. Значит, в точке с tg x = 3 функция принимает наименьшее значение на всём промежутке.
- Вычисляем значение, не находя сам x
ctg x = 1/tg x = 1/3, поэтому y = 3 + 9·(1/3) + 2 = 3 + 3 + 2 = 8.
- Типичная ошибка
Решить, что минимум — в «удобной» точке π/4, где tg x = ctg x = 1: получится 1 + 9 + 2 = 12. Но при x = π/4 производная равна 2 − 18 = −16 ≠ 0.
Ответ: 8