ЕГЭ, задание 12: Экстремумы функции

Разложите sin 2x = 2sin x·cos x и вынесите cos x за скобки.

Какой угол из второй четверти имеет синус 1/2?

1. Находим производную

   (cos 2x)′ = −2sin 2x, поэтому y′ = −8sin 2x + 8cos x. По формуле sin 2x = 2sin x·cos x: y′ = −16sin x·cos x + 8cos x = 8cos x·(1 − 2sin x).

2. Находим нули производной на отрезке

   cos x = 0 даёт x = π/2 (это левый конец). 1 − 2sin x = 0 даёт sin x = 1/2; на [π/2; π] это x = 5π/6.

3. Считаем значения в точках-кандидатах

   y(π/2) = 4cos π + 8sin(π/2) − 3 = −4 + 8 − 3 = 1. y(5π/6) = 4cos(5π/3) + 8sin(5π/6) − 3 = 4·(1/2) + 8·(1/2) − 3 = 2 + 4 − 3 = 3. y(π) = 4cos 2π + 8sin π − 3 = 4 + 0 − 3 = 1.

4. Проверяем другим способом

   cos 2x = 1 − 2sin²x, поэтому y = −8sin²x + 8sin x + 1. Это парабола от t = sin x ветвями вниз с вершиной t = 1/2 — наибольшее значение −8·(1/4) + 8·(1/2) + 1 = 3.

5. Типичная ошибка

   Ограничиться концами отрезка и получить 1, пропустив внутреннюю точку 5π/6.

Ответ: 3