Условие
Найдите наименьшее значение функции y = 5cos x + 6x + 4 на отрезке [0; 3π/2].
Подсказка
Оцените производную 6 − 5sin x, помня, что sin x не больше единицы.
Если функция возрастает на отрезке, в каком его конце находится наименьшее значение?
Показать ответ
9
Пошаговое решение
- Находим производную
(cos x)′ = −sin x, (6x)′ = 6, производная числа равна нулю. Поэтому y′ = −5sin x + 6 = 6 − 5sin x.
- Определяем знак производной
Синус любого числа не больше 1, значит 5sin x ≤ 5 и y′ = 6 − 5sin x ≥ 6 − 5 = 1 > 0. Производная положительна на всём отрезке, стационарных точек нет.
- Делаем вывод о монотонности
Функция возрастает на [0; 3π/2]. У возрастающей функции наименьшее значение — в левом конце отрезка, то есть при x = 0. Правый конец 3π/2 дал бы значение с числом π, которое не записать конечной десятичной дробью, — это ещё один признак, что ответ ищем в нуле.
- Вычисляем значение в левом конце
y(0) = 5·cos 0 + 6·0 + 4 = 5·1 + 0 + 4 = 9. Типичная ошибка — считать cos 0 = 0 и получить 4.
Ответ: 9