Условие
Найдите наибольшее значение функции y = 6sin x − (24/π)·x + 3 на отрезке [−5π/6; 0].
Подсказка
Сравните 24/π с числом 6, используя оценку π < 4.
Если функция убывает, наибольшее значение достигается в левом конце отрезка.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Находим производную
Число 24/π — просто коэффициент при x, поэтому ((24/π)·x)′ = 24/π. Получаем y′ = 6cos x − 24/π.
- Оцениваем знак производной
cos x ≤ 1, значит y′ ≤ 6 − 24/π. Так как π < 4, дробь 24/π больше 24/4 = 6. Поэтому 6 − 24/π < 0, и производная отрицательна на всём отрезке.
- Выбираем конец отрезка
Функция убывает на [−5π/6; 0], значит наибольшее значение — в левом конце x = −5π/6. Заметим: в этой точке π в слагаемом с x сократится.
- Вычисляем y(−5π/6)
sin(−5π/6) = −sin(5π/6) = −1/2, поэтому 6·sin(−5π/6) = −3. −(24/π)·(−5π/6) = (24·5)/6 = 20. Итого y = −3 + 20 + 3 = 20.
- Типичная ошибка
Забыть, что синус нечётен, и взять sin(−5π/6) = 1/2: тогда получится 3 + 20 + 3 = 26.
Ответ: 20