Условие
а) Решите уравнение (sin (x+π/5)−cos (x+π/5))(√3 sin (x+π/5)+cos (x+π/5))=0. б) Укажите все корни на отрезке [−17π/10; 13π/10].
Подсказка
Введите y=x+π/5. Приравняйте множители нулю, а случай cos y=0 проверьте до деления.
После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
Показать ответ
а) x=π/20+πk; x=−11π/30+πk, k∈Z; б) −41π/30; −19π/20; −11π/30; π/20; 19π/30; 21π/20
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Введите y=x+π/5. Приравняйте множители нулю, а случай cos y=0 проверьте до деления. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
- Вводим обозначения
Положим y=x+π/5. Получаем уравнение (sin y−cos y)(√3 sin y+cos y)=0.
- Получаем следующий результат
При cos y=0 оба множителя ненулевые. При cos y≠0 делим ветви на cos y и получаем tg y=1 или tg y=−1/√3.
- Записываем общее решение
Для переменной y: y=π/4+πk; y=−π/6+πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=π/20+πk; x=−11π/30+πk, k∈Z.
- Записываем условие отбора корней
Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.
- Отбираем корни серии 1
Серия 1: x=π/20+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤π/20+(π)k≤13π/10. Вычитаем π/20 и делим на положительный период π: -7/4≤k≤5/4. Целые k: -1, 0, 1. при k=-1: x=π/20+(π)·(-1)=−19π/20; при k=0: x=π/20+(π)·(0)=π/20; при k=1: x=π/20+(π)·(1)=21π/20.
- Отбираем корни серии 2
Серия 2: x=−11π/30+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−11π/30+(π)k≤13π/10. Вычитаем −11π/30 и делим на положительный период π: -4/3≤k≤5/3. Целые k: -1, 0, 1. при k=-1: x=−11π/30+(π)·(-1)=−41π/30; при k=0: x=−11π/30+(π)·(0)=−11π/30; при k=1: x=−11π/30+(π)·(1)=19π/30.
- Объединяем и упорядочиваем корни
Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −41π/30; −19π/20; −11π/30; π/20; 19π/30; 21π/20.
Ответ: а) x=π/20+πk; x=−11π/30+πk, k∈Z; б) −41π/30; −19π/20; −11π/30; π/20; 19π/30; 21π/20