ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Введите y=x+π/5. Сначала выпишите ОДЗ, затем примените формулу разности синусов и отдельно отфильтруйте обе серии из cos 2y=0.

После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

1. Намечаем ход решения

   Введите y=x+π/5. Сначала выпишите ОДЗ, затем примените формулу разности синусов и отдельно отфильтруйте обе серии из cos 2y=0. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

2. Вводим обозначения

   Положим y=x+π/5. Получаем уравнение (sin 3y−sin y)/(sin y−cos y)=0.

3. Учитываем ограничения

   ОДЗ: sin y≠cos y, то есть y≠π/4+πk. Числитель преобразуем: sin 3y−sin y=2cos 2y sin y. Ветвь sin y=0 даёт y=πk. Из cos 2y=0 получаем y=π/4+πk/2; после исключения запрещённых значений остаётся y=3π/4+πk.

4. Записываем общее решение

   Для переменной y: y=πk; y=3π/4+πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=−π/5+πk; x=11π/20+πk, k∈Z.

5. Записываем условие отбора корней

   Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.

6. Отбираем корни серии 1

   Серия 1: x=−π/5+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−π/5+(π)k≤13π/10. Вычитаем −π/5 и делим на положительный период π: -3/2≤k≤3/2. Целые k: -1, 0, 1. при k=-1: x=−π/5+(π)·(-1)=−6π/5; при k=0: x=−π/5+(π)·(0)=−π/5; при k=1: x=−π/5+(π)·(1)=4π/5.

7. Отбираем корни серии 2

   Серия 2: x=11π/20+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤11π/20+(π)k≤13π/10. Вычитаем 11π/20 и делим на положительный период π: -9/4≤k≤3/4. Целые k: -2, -1, 0. при k=-2: x=11π/20+(π)·(-2)=−29π/20; при k=-1: x=11π/20+(π)·(-1)=−9π/20; при k=0: x=11π/20+(π)·(0)=11π/20.

8. Объединяем и упорядочиваем корни

   Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −29π/20; −6π/5; −9π/20; −π/5; 11π/20; 4π/5.

Ответ: а) x=−π/5+πk; x=11π/20+πk, k∈Z; б) −29π/20; −6π/5; −9π/20; −π/5; 11π/20; 4π/5