ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Введите y=x+π/5. Сделайте замену t=sin y и после решения квадратного уравнения вернитесь к окружности.

После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

1. Намечаем ход решения

   Введите y=x+π/5. Сделайте замену t=sin y и после решения квадратного уравнения вернитесь к окружности. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

2. Вводим обозначения

   Положим y=x+π/5. Получаем уравнение 2sin²y−sin y−1=0.

3. Выполняем преобразование

   Полагаем t=sin y. Равенство (2t+1)(t−1)=0 даёт t=−1/2 или t=1; оба значения допустимы.

4. Записываем общее решение

   Для переменной y: y=π/2+2πk; y=−π/6+2πk; y=7π/6+2πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=3π/10+2πk; x=−11π/30+2πk; x=29π/30+2πk, k∈Z.

5. Записываем условие отбора корней

   Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.

6. Отбираем корни серии 1

   Серия 1: x=3π/10+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤3π/10+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 3π/10 и делим на положительный период 2π: -1≤k≤1/2. Целые k: -1, 0. при k=-1: x=3π/10+(2π)·(-1)=−17π/10; при k=0: x=3π/10+(2π)·(0)=3π/10.

7. Отбираем корни серии 2

   Серия 2: x=−11π/30+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−11π/30+(2π)k≤13π/10. Вычитаем −11π/30 и делим на положительный период 2π: -2/3≤k≤5/6. Целые k: 0. при k=0: x=−11π/30+(2π)·(0)=−11π/30.

8. Отбираем корни серии 3

   Серия 3: x=29π/30+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤29π/30+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 29π/30 и делим на положительный период 2π: -4/3≤k≤1/6. Целые k: -1, 0. при k=-1: x=29π/30+(2π)·(-1)=−31π/30; при k=0: x=29π/30+(2π)·(0)=29π/30.

9. Объединяем и упорядочиваем корни

   Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −17π/10; −31π/30; −11π/30; 3π/10; 29π/30.

Ответ: а) x=3π/10+2πk; x=−11π/30+2πk; x=29π/30+2πk, k∈Z; б) −17π/10; −31π/30; −11π/30; 3π/10; 29π/30