Условие
а) Решите уравнение sin 2(x+π/5)=cos (x+π/5). б) Укажите все корни на отрезке [−17π/10; 13π/10].
Подсказка
Введите y=x+π/5. После раскрытия двойного угла не делите на cos y: одна из серий корней возникает именно из cos y=0.
После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
Показать ответ
а) x=3π/10+πk; x=−π/30+2πk; x=19π/30+2πk, k∈Z; б) −17π/10; −41π/30; −7π/10; −π/30; 3π/10; 19π/30; 13π/10
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Введите y=x+π/5. После раскрытия двойного угла не делите на cos y: одна из серий корней возникает именно из cos y=0. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
- Вводим обозначения
Положим y=x+π/5. Получаем уравнение sin 2y=cos y.
- Выполняем преобразование
Используем sin 2y=2sin y cos y и переносим всё влево: cos y(2sin y−1)=0. Отсюда cos y=0, то есть y=π/2+πk, либо sin y=1/2, то есть y=π/6+2πk или y=5π/6+2πk.
- Записываем общее решение
Для переменной y: y=π/2+πk; y=π/6+2πk; y=5π/6+2πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=3π/10+πk; x=−π/30+2πk; x=19π/30+2πk, k∈Z.
- Записываем условие отбора корней
Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.
- Отбираем корни серии 1
Серия 1: x=3π/10+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤3π/10+(π)k≤13π/10. Вычитаем 3π/10 и делим на положительный период π: -2≤k≤1. Целые k: -2, -1, 0, 1. при k=-2: x=3π/10+(π)·(-2)=−17π/10; при k=-1: x=3π/10+(π)·(-1)=−7π/10; при k=0: x=3π/10+(π)·(0)=3π/10; при k=1: x=3π/10+(π)·(1)=13π/10.
- Отбираем корни серии 2
Серия 2: x=−π/30+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−π/30+(2π)k≤13π/10. Вычитаем −π/30 и делим на положительный период 2π: -5/6≤k≤2/3. Целые k: 0. при k=0: x=−π/30+(2π)·(0)=−π/30.
- Отбираем корни серии 3
Серия 3: x=19π/30+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤19π/30+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 19π/30 и делим на положительный период 2π: -7/6≤k≤1/3. Целые k: -1, 0. при k=-1: x=19π/30+(2π)·(-1)=−41π/30; при k=0: x=19π/30+(2π)·(0)=19π/30.
- Объединяем и упорядочиваем корни
Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −17π/10; −41π/30; −7π/10; −π/30; 3π/10; 19π/30; 13π/10.
Ответ: а) x=3π/10+πk; x=−π/30+2πk; x=19π/30+2πk, k∈Z; б) −17π/10; −41π/30; −7π/10; −π/30; 3π/10; 19π/30; 13π/10