Условие
а) Решите уравнение sin 3(x+π/5)+sin (x+π/5)=0. б) Укажите все корни на отрезке [−17π/10; 13π/10].
Подсказка
Введите y=x+π/5. Преобразуйте сумму синусов в произведение и удалите повторяющуюся серию корней.
После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
Показать ответ
а) x=−π/5+π/2k, k∈Z; б) −17π/10; −6π/5; −7π/10; −π/5; 3π/10; 4π/5; 13π/10
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Введите y=x+π/5. Преобразуйте сумму синусов в произведение и удалите повторяющуюся серию корней. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
- Вводим обозначения
Положим y=x+π/5. Получаем уравнение sin 3y+sin y=0.
- Получаем следующий результат
По формуле суммы sin 3y+sin y=2sin 2y cos y. Из sin 2y=0 получаем y=πk/2; ветвь cos y=0 уже входит в эту серию.
- Записываем общее решение
Для переменной y: y=π/2k, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=−π/5+π/2k, k∈Z.
- Записываем условие отбора корней
Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.
- Отбираем корни серии 1
Серия 1: x=−π/5+(π/2)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−π/5+(π/2)k≤13π/10. Вычитаем −π/5 и делим на положительный период π/2: -3≤k≤3. Целые k: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. при k=-3: x=−π/5+(π/2)·(-3)=−17π/10; при k=-2: x=−π/5+(π/2)·(-2)=−6π/5; при k=-1: x=−π/5+(π/2)·(-1)=−7π/10; при k=0: x=−π/5+(π/2)·(0)=−π/5; при k=1: x=−π/5+(π/2)·(1)=3π/10; при k=2: x=−π/5+(π/2)·(2)=4π/5; при k=3: x=−π/5+(π/2)·(3)=13π/10.
- Объединяем и упорядочиваем корни
Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −17π/10; −6π/5; −7π/10; −π/5; 3π/10; 4π/5; 13π/10.
Ответ: а) x=−π/5+π/2k, k∈Z; б) −17π/10; −6π/5; −7π/10; −π/5; 3π/10; 4π/5; 13π/10