ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Введите y=x+π/5. Разложите квадратный трёхчлен по t=sin y и решите обе допустимые ветви.

После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

1. Намечаем ход решения

   Введите y=x+π/5. Разложите квадратный трёхчлен по t=sin y и решите обе допустимые ветви. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

2. Вводим обозначения

   Положим y=x+π/5. Получаем уравнение 2sin²y−3sin y+1=0.

3. Выполняем преобразование

   После замены t=sin y имеем (2t−1)(t−1)=0. Решаем sin y=1/2 и sin y=1.

4. Записываем общее решение

   Для переменной y: y=π/6+2πk; y=5π/6+2πk; y=π/2+2πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=−π/30+2πk; x=19π/30+2πk; x=3π/10+2πk, k∈Z.

5. Записываем условие отбора корней

   Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.

6. Отбираем корни серии 1

   Серия 1: x=−π/30+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−π/30+(2π)k≤13π/10. Вычитаем −π/30 и делим на положительный период 2π: -5/6≤k≤2/3. Целые k: 0. при k=0: x=−π/30+(2π)·(0)=−π/30.

7. Отбираем корни серии 2

   Серия 2: x=19π/30+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤19π/30+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 19π/30 и делим на положительный период 2π: -7/6≤k≤1/3. Целые k: -1, 0. при k=-1: x=19π/30+(2π)·(-1)=−41π/30; при k=0: x=19π/30+(2π)·(0)=19π/30.

8. Отбираем корни серии 3

   Серия 3: x=3π/10+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤3π/10+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 3π/10 и делим на положительный период 2π: -1≤k≤1/2. Целые k: -1, 0. при k=-1: x=3π/10+(2π)·(-1)=−17π/10; при k=0: x=3π/10+(2π)·(0)=3π/10.

9. Объединяем и упорядочиваем корни

   Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −17π/10; −41π/30; −π/30; 3π/10; 19π/30.

Ответ: а) x=−π/30+2πk; x=19π/30+2πk; x=3π/10+2πk, k∈Z; б) −17π/10; −41π/30; −π/30; 3π/10; 19π/30