ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Введите y=x+π/5. После возведения в квадрат обязательно проверьте обе серии в исходном уравнении.

После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

1. Почему нужна проверка корней

   Арифметический квадратный корень неотрицателен. Перед возведением уравнения в квадрат учитываем неотрицательность правой части. После возведения в квадрат могут появиться посторонние корни; каждый кандидат проверяем в исходном уравнении.

2. Намечаем ход решения

   Введите y=x+π/5. После возведения в квадрат обязательно проверьте обе серии в исходном уравнении. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

3. Вводим обозначения

   Положим y=x+π/5. Получаем уравнение sin y+cos y=1.

4. Выполняем преобразование

   Переносим sin y=1−cos y и возводим в квадрат: 2cos y(cos y−1)=0. Проверка в исходном уравнении оставляет y=2πk и y=π/2+2πk.

5. Записываем общее решение

   Для переменной y: y=2πk; y=π/2+2πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=−π/5+2πk; x=3π/10+2πk, k∈Z.

6. Записываем условие отбора корней

   Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.

7. Отбираем корни серии 1

   Серия 1: x=−π/5+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−π/5+(2π)k≤13π/10. Вычитаем −π/5 и делим на положительный период 2π: -3/4≤k≤3/4. Целые k: 0. при k=0: x=−π/5+(2π)·(0)=−π/5.

8. Отбираем корни серии 2

   Серия 2: x=3π/10+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤3π/10+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 3π/10 и делим на положительный период 2π: -1≤k≤1/2. Целые k: -1, 0. при k=-1: x=3π/10+(2π)·(-1)=−17π/10; при k=0: x=3π/10+(2π)·(0)=3π/10.

9. Объединяем и упорядочиваем корни

   Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −17π/10; −π/5; 3π/10.

Ответ: а) x=−π/5+2πk; x=3π/10+2πk, k∈Z; б) −17π/10; −π/5; 3π/10