Условие
а) Решите уравнение cos 3(x+π/5)/sin (x+π/5)=1. б) Укажите все корни на отрезке [−17π/10; 13π/10].
Подсказка
Введите y=x+π/5. Замените sin y на cos(π/2−y), решите cos A=cos B по двум ветвям и в конце проверьте знаменатель.
После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
Показать ответ
а) x=−3π/40+π/2k; x=−9π/20+πk, k∈Z; б) −63π/40; −29π/20; −43π/40; −23π/40; −9π/20; −3π/40; 17π/40; 11π/20; 37π/40
Пошаговое решение
- Область допустимых значений
Каждый знаменатель исходного выражения должен быть отличен от нуля. Эти исключения сохраняются после сокращения дроби и умножения уравнения на знаменатель: запрещённую точку нельзя возвращать в ответ.
- Намечаем ход решения
Введите y=x+π/5. Замените sin y на cos(π/2−y), решите cos A=cos B по двум ветвям и в конце проверьте знаменатель. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
- Вводим обозначения
Положим y=x+π/5. Получаем уравнение cos 3y/sin y=1.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: sin y≠0. Переписываем уравнение как cos 3y=sin y=cos(π/2−y). Из равенства косинусов получаем 3y=π/2−y+2πk или 3y=−π/2+y+2πk. Поэтому y=π/8+πk/2 или y=−π/4+πk; обе серии удовлетворяют ОДЗ.
- Записываем общее решение
Для переменной y: y=π/8+π/2k; y=−π/4+πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=−3π/40+π/2k; x=−9π/20+πk, k∈Z.
- Записываем условие отбора корней
Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.
- Отбираем корни серии 1
Серия 1: x=−3π/40+(π/2)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−3π/40+(π/2)k≤13π/10. Вычитаем −3π/40 и делим на положительный период π/2: -13/4≤k≤11/4. Целые k: -3, -2, -1, 0, 1, 2. при k=-3: x=−3π/40+(π/2)·(-3)=−63π/40; при k=-2: x=−3π/40+(π/2)·(-2)=−43π/40; при k=-1: x=−3π/40+(π/2)·(-1)=−23π/40; при k=0: x=−3π/40+(π/2)·(0)=−3π/40; при k=1: x=−3π/40+(π/2)·(1)=17π/40; при k=2: x=−3π/40+(π/2)·(2)=37π/40.
- Отбираем корни серии 2
Серия 2: x=−9π/20+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−9π/20+(π)k≤13π/10. Вычитаем −9π/20 и делим на положительный период π: -5/4≤k≤7/4. Целые k: -1, 0, 1. при k=-1: x=−9π/20+(π)·(-1)=−29π/20; при k=0: x=−9π/20+(π)·(0)=−9π/20; при k=1: x=−9π/20+(π)·(1)=11π/20.
- Объединяем и упорядочиваем корни
Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −63π/40; −29π/20; −43π/40; −23π/40; −9π/20; −3π/40; 17π/40; 11π/20; 37π/40.
Ответ: а) x=−3π/40+π/2k; x=−9π/20+πk, k∈Z; б) −63π/40; −29π/20; −43π/40; −23π/40; −9π/20; −3π/40; 17π/40; 11π/20; 37π/40