ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Какие условия накладываются на основание логарифма? Запишите их через sin x.

Выразите cos 2x через sin x и воспользуйтесь определением логарифма.

1. Выписываем ОДЗ

   Основание логарифма: sin x>0 и sin x≠1. Аргумент: 2−cos 2x−2sin x=2−(1−2sin²x)−2sin x=2sin²x−2sin x+1=2(sin x−1/2)²+1/2>0 при любом x, отдельного ограничения нет.

2. Переходим к алгебраическому уравнению

   По определению логарифма log_a(b)=1 означает b=a. Значит, 2sin²x−2sin x+1=sin x, 2sin²x−3sin x+1=0, (2sin x−1)(sin x−1)=0: sin x=1/2 или sin x=1.

3. Отбрасываем недопустимое основание

   sin x=1 запрещено: основание логарифма не может равняться 1. Остаётся sin x=1/2 (0<1/2<1 — допустимо): x=π/6+2πk или x=5π/6+2πk, k∈Z.

4. Отбираем корни двойным неравенством

   −7π/2 ≤ π/6+2πk ≤ −3π/2; делим на π, вычитаем 1/6 и делим на 2: −11/6 ≤ k ≤ −5/6, k=−1: x=−11π/6; −7π/2 ≤ 5π/6+2πk ≤ −3π/2; делим на π, вычитаем 5/6 и делим на 2: −13/6 ≤ k ≤ −7/6, k=−2: x=−19π/6.

5. Записываем ответ и проверяем

   По возрастанию: −19π/6; −11π/6. Проверка: при sin x=1/2 cos 2x=1−2·1/4=1/2, аргумент 2−1/2−1=1/2, log_(1/2)(1/2)=1 — верно. Типичные ошибки: оставить серию x=π/2+2πk из sin x=1 (основание 1 запрещено); записать sin x=1/2 одной серией π/6+2πk и потерять 5π/6+2πk.

Ответ: а) x=π/6+2πk; x=5π/6+2πk, k∈Z; б) −19π/6; −11π/6

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: выписана ОДЗ 0<sin x≠1, уравнение сведено к (2sin x−1)(sin x−1)=0, значение sin x=1 отброшено из-за основания, на [−7π/2; −3π/2] отобраны −19π/6 и −11π/6.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) отбор неверен; ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки (например, при замене cos 2x=1−2sin²x) ответы неверны при верной последовательности всех шагов с учётом ОДЗ основания.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.