ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Введите y=x+π/5. Замените cos y на t после раскрытия cos 2y.

После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

1. Намечаем ход решения

   Введите y=x+π/5. Замените cos y на t после раскрытия cos 2y. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

2. Вводим обозначения

   Положим y=x+π/5. Получаем уравнение cos 2y=cos y.

3. Получаем следующий результат

   По формуле cos 2y=2cos²y−1 получаем 2t²−t−1=0 для t=cos y. Значит, cos y=1 или cos y=−1/2.

4. Записываем общее решение

   Для переменной y: y=2πk; y=2π/3+2πk; y=−2π/3+2πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=−π/5+2πk; x=7π/15+2πk; x=−13π/15+2πk, k∈Z.

5. Записываем условие отбора корней

   Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.

6. Отбираем корни серии 1

   Серия 1: x=−π/5+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−π/5+(2π)k≤13π/10. Вычитаем −π/5 и делим на положительный период 2π: -3/4≤k≤3/4. Целые k: 0. при k=0: x=−π/5+(2π)·(0)=−π/5.

7. Отбираем корни серии 2

   Серия 2: x=7π/15+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤7π/15+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 7π/15 и делим на положительный период 2π: -13/12≤k≤5/12. Целые k: -1, 0. при k=-1: x=7π/15+(2π)·(-1)=−23π/15; при k=0: x=7π/15+(2π)·(0)=7π/15.

8. Отбираем корни серии 3

   Серия 3: x=−13π/15+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−13π/15+(2π)k≤13π/10. Вычитаем −13π/15 и делим на положительный период 2π: -5/12≤k≤13/12. Целые k: 0, 1. при k=0: x=−13π/15+(2π)·(0)=−13π/15; при k=1: x=−13π/15+(2π)·(1)=17π/15.

9. Объединяем и упорядочиваем корни

   Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −23π/15; −13π/15; −π/5; 7π/15; 17π/15.

Ответ: а) x=−π/5+2πk; x=7π/15+2πk; x=−13π/15+2πk, k∈Z; б) −23π/15; −13π/15; −π/5; 7π/15; 17π/15