ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Какой знак у синуса в III четверти? С его помощью упростите sin(3π/2−x).

После переноса всех слагаемых влево вынесите общий множитель, а не делите на него.

1. Применяем формулу приведения

   Угол 3π/2−x отсчитывается от вертикальной оси (3π/2), поэтому синус меняется на косинус. Знак определяем по четверти: при малом x>0 угол 3π/2−x лежит в III четверти, где синус отрицателен. Значит, sin(3π/2−x)=−cos x, и уравнение принимает вид −√2·sin x·cos x=cos x.

2. Раскладываем на множители, не деля на cos x

   Переносим всё в левую часть: −√2 sin x cos x−cos x=0, то есть −cos x·(√2 sin x+1)=0. Делить на cos x нельзя: при cos x=0 обе части равны нулю, и мы потеряли бы целую серию корней. Уравнение определено при всех x, поэтому переход равносилен: cos x=0 или √2 sin x+1=0.

3. Решаем простейшие уравнения

   cos x=0 ⇔ x=π/2+πk, k∈Z. √2 sin x+1=0 ⇔ sin x=−1/√2=−√2/2. На единичной окружности это две точки в III и IV четвертях: x=−π/4+2πk или x=−3π/4+2πk, k∈Z.

4. Отбираем корни двойным неравенством

   Серия x=π/2+πk: −5π/2≤π/2+πk≤−π ⇔ −3≤k≤−3/2, k=−3 или k=−2, x=−5π/2 и x=−3π/2. Серия x=−π/4+2πk: −5/2≤−1/4+2k≤−1 ⇔ −9/8≤k≤−3/8, k=−1, x=−π/4−2π=−9π/4. Серия x=−3π/4+2πk: −5/2≤−3/4+2k≤−1 ⇔ −7/8≤k≤−1/8 — целых k нет. Левый конец −5π/2 входит в отрезок и является корнем.

5. Проверяем корень и разбираем типичную ошибку

   x=−9π/4: sin x=−√2/2, cos x=√2/2, sin(3π/2+9π/4)=sin(15π/4)=−√2/2; левая часть √2·(−√2/2)·(−√2/2)=√2/2=cos x — верно. Типичная ошибка — взять sin(3π/2−x)=cos x без минуса: тогда получится sin x=√2/2, и в ответ попадут лишние числа −7π/4 и −5π/4 вместо −9π/4.

Ответ: а) x=π/2+πk; x=−π/4+2πk; x=−3π/4+2πk, k∈Z; б) −5π/2; −9π/4; −3π/2

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: верно применена формула приведения sin(3π/2−x)=−cos x, уравнение разложено на множители без деления на cos x, найдены три серии и отобраны −5π/2; −9π/4; −3π/2.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, верно найдены все серии, но потерян корень −5π/2 на конце отрезка.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.