ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Разложите левую часть по формуле разности квадратов: a⁴−b⁴=(a²−b²)(a²+b²).

Получится однородное уравнение первой степени относительно sin 2x и cos 2x.

1. Раскладываем разность четвёртых степеней

   cos⁴x−sin⁴x=(cos²x−sin²x)(cos²x+sin²x). Вторая скобка равна 1 по основному тригонометрическому тождеству, первая — это cos 2x. Уравнение принимает вид cos 2x=√3 sin 2x.

2. Обосновываем деление на cos 2x

   Если cos 2x=0, то из уравнения sin 2x=0, но sin²2x+cos²2x=1, и синус с косинусом одного угла одновременно нулю не равны. Значит, корней с cos 2x=0 нет, и деление на cos 2x не теряет корней: tg 2x=1/√3=√3/3.

3. Решаем простейшее уравнение

   2x=π/6+πk, k∈Z, откуда x=π/12+πk/2. Делим на 2 и аргумент, и период: серия повторяется через π/2, а не через π.

4. Отбираем корни, шагая по периоду

   Начинаем с π/12 (при k=0): π/12 лежит в [−π; π/2]. Шаг вправо: π/12+π/2=7π/12>π/2 — вне отрезка. Шаги влево: π/12−π/2=−5π/12, затем −5π/12−π/2=−11π/12≥−12π/12=−π — оба в отрезке; следующий −11π/12−π/2=−17π/12<−π — уже вне.

5. Проверяем корень и разбираем типичную ошибку

   x=−5π/12: 2x=−5π/6, cos(−5π/6)=−√3/2, √3·sin(−5π/6)=√3·(−1/2)=−√3/2 — равенство верно. Типичная ошибка — записать x=π/12+πk, забыв разделить период на 2: тогда на отрезке останутся только −11π/12 и π/12, и корень −5π/12 потеряется.

Ответ: а) x=π/12+πk/2, k∈Z; б) −11π/12; −5π/12; π/12

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: левая часть сведена к cos 2x, обосновано деление на cos 2x (или переход к tg 2x), найдена серия x=π/12+πk/2 и отобраны корни −11π/12; −5π/12; π/12.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, серия x=π/12+πk/2 найдена верно, но при отборе шагами по π/2 пропущен корень −11π/12 или ошибочно добавлен 7π/12.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.