ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Запишите тангенс и котангенс через синус и косинус и сложите дроби.

Произведение sin x·cos x выражается через синус двойного угла.

1. Записываем область допустимых значений

   tg x определён при cos x≠0, ctg x — при sin x≠0. ОДЗ: sin x·cos x≠0, то есть sin 2x≠0.

2. Приводим к общему знаменателю

   tg x+ctg x=sin x/cos x+cos x/sin x=(sin²x+cos²x)/(sin x·cos x)=1/(sin x·cos x)=2/sin 2x. Уравнение: 2/sin 2x=4/√3, откуда sin 2x=2√3/4=√3/2. Это значение не равно нулю, поэтому все найденные x автоматически входят в ОДЗ.

3. Решаем простейшее уравнение

   sin 2x=√3/2 ⇔ 2x=π/3+2πk или 2x=2π/3+2πk ⇔ x=π/6+πk или x=π/3+πk, k∈Z.

4. Отбираем корни двойным неравенством

   Серия π/6+πk: −2≤1/6+k≤−1/2 ⇔ −13/6≤k≤−2/3, k=−2, −1: x=−11π/6 и x=−5π/6. Серия π/3+πk: −2≤1/3+k≤−1/2 ⇔ −7/3≤k≤−5/6, k=−2, −1: x=−5π/3 и x=−2π/3. Концы −2π и −π/2 не входят в ОДЗ (там ctg x или tg x не существует).

5. Проверяем корень и разбираем типичную ошибку

   x=−5π/6: tg(−5π/6)=tg(π/6)=1/√3, ctg(−5π/6)=√3, сумма 1/√3+√3=4/√3 — верно. Типичная ошибка — из sin 2x=√3/2 записать только 2x=π/3+2πk и потерять серию π/3+πk, то есть корни −5π/3 и −2π/3.

Ответ: а) x=π/6+πk; x=π/3+πk, k∈Z; б) −11π/6; −5π/3; −5π/6; −2π/3

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: записана ОДЗ sin x·cos x≠0, сумма сведена к 2/sin 2x, найдены обе серии x=π/6+πk и x=π/3+πk, отобраны −11π/6; −5π/3; −5π/6; −2π/3.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, обе серии найдены верно, но в пункте б) из-за ошибки в двойном неравенстве потерян корень −11π/6.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.