ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Раскройте sin(x+π/3) по формуле синуса суммы — часть слагаемых сократится.

Косинус двойного угла выразите через sin x.

1. Раскрываем синус суммы

   sin(x+π/3)=sin x·cos(π/3)+cos x·sin(π/3)=(1/2)sin x+(√3/2)cos x, поэтому 2sin(x+π/3)=sin x+√3 cos x. Уравнение: sin x+√3 cos x+cos 2x=√3 cos x+1, слагаемые √3 cos x сокращаются: sin x+cos 2x−1=0.

2. Выражаем cos 2x через синус

   cos 2x=1−2sin²x, тогда sin x+1−2sin²x−1=0, то есть sin x−2sin²x=0 и sin x·(1−2sin x)=0. Свободного члена нет, поэтому замена с квадратным уравнением не нужна — выносим sin x.

3. Решаем простейшие уравнения

   sin x=0 ⇔ x=πk, k∈Z. 1−2sin x=0 ⇔ sin x=1/2 ⇔ x=π/6+2πk или x=5π/6+2πk, k∈Z.

4. Отбираем корни на единичной окружности

   При движении от −3π к −3π/2 точка проходит путь длиной 3π/2: от левой точки окружности (−3π) через нижнюю (−5π/2) и правую (−2π) к верхней (−3π/2), то есть III, IV и I четверти. Нули синуса на этой дуге: −3π и −2π. Точка π/6 лежит в I четверти — ей соответствует −2π+π/6=−11π/6. Точка 5π/6 лежит во II четверти, которую дуга не проходит.

5. Проверяем корень и разбираем типичную ошибку

   x=−11π/6: x+π/3=−3π/2, 2sin(−3π/2)=2; cos(−11π/3)=cos(π/3)=1/2; левая часть 5/2. Правая: √3·cos(−11π/6)+1=√3·(√3/2)+1=5/2 — верно. Типичная ошибка — разделить sin x−2sin²x=0 на sin x и потерять корни −3π и −2π, в том числе левый конец отрезка.

Ответ: а) x=πk; x=π/6+2πk; x=5π/6+2πk, k∈Z; б) −3π; −2π; −11π/6

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: раскрыт синус суммы и сокращено √3 cos x, уравнение сведено к sin x(1−2sin x)=0, найдены серии x=πk, x=π/6+2πk, x=5π/6+2πk, отобраны −3π; −2π; −11π/6.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, при отборе на окружности ошибочно включён корень из серии 5π/6+2πk.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.