Условие
а) Решите уравнение (cos 3(x+π/5)+cos (x+π/5))/(sin (x+π/5)+cos (x+π/5))=0. б) Укажите все корни на отрезке [−17π/10; 13π/10].
Подсказка
Введите y=x+π/5. Преобразуйте сумму косинусов в произведение, но до отбора корней зафиксируйте нули знаменателя.
После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
Показать ответ
а) x=π/20+πk; x=3π/10+πk, k∈Z; б) −17π/10; −19π/20; −7π/10; π/20; 3π/10; 21π/20; 13π/10
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Введите y=x+π/5. Преобразуйте сумму косинусов в произведение, но до отбора корней зафиксируйте нули знаменателя. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
- Вводим обозначения
Положим y=x+π/5. Получаем уравнение (cos 3y+cos y)/(sin y+cos y)=0.
- Учитываем ограничения
ОДЗ: sin y+cos y≠0, то есть y≠−π/4+πk. Числитель равен 2cos 2y cos y. Из cos 2y=0 имеем y=π/4+πk/2; запрещённые точки удаляют каждую вторую серию, и остаётся y=π/4+πk. Ветвь cos y=0 даёт y=π/2+πk и ОДЗ не нарушает.
- Записываем общее решение
Для переменной y: y=π/4+πk; y=π/2+πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=π/20+πk; x=3π/10+πk, k∈Z.
- Записываем условие отбора корней
Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.
- Отбираем корни серии 1
Серия 1: x=π/20+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤π/20+(π)k≤13π/10. Вычитаем π/20 и делим на положительный период π: -7/4≤k≤5/4. Целые k: -1, 0, 1. при k=-1: x=π/20+(π)·(-1)=−19π/20; при k=0: x=π/20+(π)·(0)=π/20; при k=1: x=π/20+(π)·(1)=21π/20.
- Отбираем корни серии 2
Серия 2: x=3π/10+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤3π/10+(π)k≤13π/10. Вычитаем 3π/10 и делим на положительный период π: -2≤k≤1. Целые k: -2, -1, 0, 1. при k=-2: x=3π/10+(π)·(-2)=−17π/10; при k=-1: x=3π/10+(π)·(-1)=−7π/10; при k=0: x=3π/10+(π)·(0)=3π/10; при k=1: x=3π/10+(π)·(1)=13π/10.
- Объединяем и упорядочиваем корни
Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −17π/10; −19π/20; −7π/10; π/20; 3π/10; 21π/20; 13π/10.
Ответ: а) x=π/20+πk; x=3π/10+πk, k∈Z; б) −17π/10; −19π/20; −7π/10; π/20; 3π/10; 21π/20; 13π/10