ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Введите y=x+π/5. Отдельно проверьте cos y=0, а затем разделите однородное уравнение на cos²y и решите квадратное уравнение по tg y.

После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

1. Намечаем ход решения

   Введите y=x+π/5. Отдельно проверьте cos y=0, а затем разделите однородное уравнение на cos²y и решите квадратное уравнение по tg y. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.

2. Вводим обозначения

   Положим y=x+π/5. Получаем уравнение √3 sin²y−2sin y cos y−√3 cos²y=0.

3. Получаем следующий результат

   При cos y=0 левая часть равна √3 и не обращается в ноль. Поэтому делим на cos²y и получаем √3t²−2t−√3=0 для t=tg y. Корни равны √3 и −1/√3, откуда y=π/3+πk или y=−π/6+πk.

4. Записываем общее решение

   Для переменной y: y=π/3+πk; y=−π/6+πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=2π/15+πk; x=−11π/30+πk, k∈Z.

5. Записываем условие отбора корней

   Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.

6. Отбираем корни серии 1

   Серия 1: x=2π/15+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤2π/15+(π)k≤13π/10. Вычитаем 2π/15 и делим на положительный период π: -11/6≤k≤7/6. Целые k: -1, 0, 1. при k=-1: x=2π/15+(π)·(-1)=−13π/15; при k=0: x=2π/15+(π)·(0)=2π/15; при k=1: x=2π/15+(π)·(1)=17π/15.

7. Отбираем корни серии 2

   Серия 2: x=−11π/30+(π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−11π/30+(π)k≤13π/10. Вычитаем −11π/30 и делим на положительный период π: -4/3≤k≤5/3. Целые k: -1, 0, 1. при k=-1: x=−11π/30+(π)·(-1)=−41π/30; при k=0: x=−11π/30+(π)·(0)=−11π/30; при k=1: x=−11π/30+(π)·(1)=19π/30.

8. Объединяем и упорядочиваем корни

   Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −41π/30; −13π/15; −11π/30; 2π/15; 19π/30; 17π/15.

Ответ: а) x=2π/15+πk; x=−11π/30+πk, k∈Z; б) −41π/30; −13π/15; −11π/30; 2π/15; 19π/30; 17π/15